Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) với đáy là hình thoi có cạnh bằng \(4a,A{A^\prime } = 6a,\widehat {BCD} = {120^0 }\). Goi $M, N, K$ lần lượt là trung điểm của \(A{B^\prime },{B^\prime }C,B{D^\prime }\). Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A, B, C, M, N, K$.

Gọi \(V\) là thể tích của khối lăng trụ \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

Gọi \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là giao điểm của \(AA',BB',CC'\) và mặt phẳng \((MNK)\).

Thể tích của khối lăng trụ \(ABC \cdot {A_1}{B_1}{C_1}\) là:

\({V_{ABC \cdot {A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{1}{4}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} = \dfrac{1}{4}V\).

Gọi \({V_1},{V_2},{V_3}\) lần lượt là thể tích của khối tứ diện \(A.{A_1}MK,\)\(B.{B_1}MN,C.{C_1}NK\).

Ta có:

+) \({V_1} = {V_{A \cdot {A_1}MK}} = \dfrac{1}{3} \cdot {S_{\Delta {A_1}MK}} \cdot A{A_1}\)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}{S_{\Delta {A_1}{B_1}{C_1}}} \cdot A{A_1}\)\( = \dfrac{1}{{12}} \cdot {V_{ABC \cdot {A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{1}{{12}} \cdot \dfrac{1}{4}V = \dfrac{1}{{48}}V\)

\( + ){V_2} = {V_{B \cdot {B_1}MN}} = \dfrac{1}{3} \cdot {S_{\Delta {B_1}MN}} \cdot B{B_1}\)\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}{S_{\Delta {B_1}{A_1}{C_1}}} \cdot B{B_1}\)\( = \dfrac{1}{{12}} \cdot {V_{ABC \cdot {A_1}{B_1}{C_1}}} = \dfrac{1}{{12}} \cdot \dfrac{1}{4}V = \dfrac{1}{{48}}V\)

\({V_3} = {V_{C.{C_1}NK}} = \dfrac{1}{3} \cdot {S_{\Delta {C_1}NK}} \cdot C{C_1}\)\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{4}{S_{\Delta {C_1}{B_1}{A_1}}} \cdot C{C_1} = \dfrac{1}{{12}} \cdot {V_{ABC \cdot {A_1}{B_1}{C_1}}}\)\( = \dfrac{1}{{12}} \cdot \dfrac{1}{4}V = \dfrac{1}{{48}}V\)

\(V = {S_{ABCD}} \cdot {A^\prime }A\)\( = 2{S_{\Delta BCD}} \cdot {A^\prime }A\)\( = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (4a) \cdot (4a) \cdot \sin {120^0} \cdot (6a)\)\( = 48{a^3}\sqrt 3 \)

Do đó, thể tích khối đa diện lồi $A B C M N K$ là:

\(\begin{array}{l}{V_{ABCMNK}} = \dfrac{1}{4}{V_{ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }}} - \left( {{V_1} + {V_2} + {V_3}} \right)\\ = \dfrac{1}{4}V - 3 \cdot \dfrac{1}{{48}}V = \dfrac{3}{{16}}V = \dfrac{3}{{16}} \cdot 48{a^3}\sqrt 3  = 9{a^3}\sqrt 3 .\end{array}\)

Vậy \({V_{ABCMNK}} = 9{a^3}\sqrt 3 \)