Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) có \(AB = x,AD = 1\). Biết rằng góc giữa đường thẳng \({A^\prime }C\) và mặt phẳng \(\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\) bằng \({30^o}\). Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \(BC \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right) \Rightarrow {A^\prime }B\) là hình chiếu của \({A^\prime }C\) lên \(\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\)
\( \Leftrightarrow \widehat {\left( {{A^\prime }{C^\prime };\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)} \right)} = \widehat {\left( {{A^\prime }C;{A^\prime }B} \right)}\)\( = \widehat {BA'C} = {30^o}\)
\(BC \bot \left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right) \Rightarrow BC \bot {A^\prime }B\)
\( \Rightarrow \Delta {A^\prime }BC{\rm{ }}\) vuông tại A’.
Xét tam giác vuông \({A^\prime }BC\) có: \({A^\prime }B = BC \cdot \cot {30^o} = \sqrt 3 \)
Xét tam giác vuông \(A{A^\prime }B\) có: \(A{A^\prime } = \sqrt {{A^\prime }{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {3 - {x^2}} \)
\( \Rightarrow {V_{ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }}} = A{A^\prime } \cdot AB \cdot AD = \sqrt {3 - {x^2}} x = V\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(\sqrt {3 - {x^2}} x \le \dfrac{{3 - {x^2} + {x^2}}}{2} = \dfrac{3}{2}\)\( \Rightarrow {V_{\max }} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 3 - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa A’C và (ABBA’)
- Sử dụng định lý Py-ta-go tính AA’
- Sử dụng công thức tính thể tích \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AA'.AD = V\)
- Áp dụng BĐT Cauchy để tìm \({V_{\max }}\)
Câu hỏi khác
- Đề thi thử phần Toán ĐGTD Đại học Bách Khoa Hà Nội lần 1, có đáp án và lời giải chi tiết
- Đề thi thử phần Toán ĐGTD Đại học Bách Khoa Hà Nội lần 2, có đáp án và lời giải chi tiết
- Đề thi chính thức ĐGTD Bách khoa 2022 - mã 103 có đáp án và lời giải chi tiết
- Đề thi thử ĐGTD Bách khoa trường Yên Lạc - Lần 2 có đáp án và lời giải chi tiết
