Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = AC = a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $SH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi $H$ là trung điểm $BC.$ Tam giác $ABC $ vuông tại $A$ nên $H$ trung điểm của $BC.$
Theo giả thiết, ta có $SH \bot \left( {ABC} \right)$
Qua $B$ kẻ $Bx$//$AC$. Khi đó $\widehat {\left( {SB;AC} \right)} = \widehat {\left( {SB;Bx} \right)}$
Kẻ $HE \bot Bx$ tại $E$, cắt $AC$ tại $M$
Suy ra AMEB là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{array}{l}BE = AM = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{a}{2}\\HE = HM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}\end{array} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}Bx \bot HE\\Bx \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow Bx \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow Bx \bot SE$
Tam giác vuông $SEB$ vuông tại $E,$ có $\cot \widehat {SBE} = \dfrac{{BE}}{{SE}} = \dfrac{{AM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{6{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
