Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân, \(AB = BC = 2a\). Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\), \(SA = \sqrt 3 a\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) bằng:

Đáp  án 

$^0$

Bước 1: Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(SH \bot \left( {SAC} \right),\,\,BH \bot \left( {SAC} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(SH \bot AC\) (do tam giác \(SAC\) cân tại \(S\)).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AC\\AH \subset \left( {SAC} \right),\,\,AH \bot AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {ABC} \right)\). Tương tự \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).

Bước 2:  Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(BI \bot SA\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HI} \right)\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(BI \bot SA\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BI\\SA \bot BH\,\,\left( {do\,\,BH \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BHI} \right) \Rightarrow SA \bot HI\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\\BI \subset \left( {SAB} \right),\,\,BI \bot SA\\HI \subset \left( {SAC} \right),\,\,HI \bot SA\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BI;HI} \right)\).

Bước 3:  Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, định lí Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Vì \(BH \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BH \bot HI\) \( \Rightarrow \Delta BHI\) vuông tại \(I\).

Do đó \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {BH;HI} \right) = \angle BHI\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = 2a\) nên \(BH = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \), \(AC = AB\sqrt 2  = 2\sqrt 2 a\)

Ta có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  \)\(= \sqrt {3{a^2} - 2{a^2}}  = a\).

\( \Rightarrow HI = \dfrac{{SH.AH}}{{SA}} = \dfrac{{a.\sqrt 2 a}}{{\sqrt 3 a}} = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}\).

Xét tam giác vuông \(BHI\) có \(\tan \angle BIH = \dfrac{{BH}}{{IH}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}}} = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow \angle BIH = {60^0}\)

Vậy góc giữa mặt phẳng (SAB) và (SAC) là \( {60^0}\)