Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,$ $SA = a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $A$ và vuông góc với trung tuyến $SI$ của tam giác $SBC$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp đã cho.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi I là trung điểm $BC \Rightarrow AI \bot BC.$ Kẻ $AK \bot SI$ $\left( {K \in SI} \right)$
\(\Delta SAB = \Delta SAC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại S \( \Rightarrow SI \bot BC\)
Từ $K$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $SB,{\rm{ }}SC$ lần lượt tạị $M,{\rm{ }}N$.
\( \Rightarrow MN \bot SI\). Khi đó thiết diện là tam giác $AMN.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AK \Rightarrow MN \bot AK.$
Tam giác vuông $SAI$, có $AK = \dfrac{{SA.AI}}{{\sqrt {S{A^2} + A{I^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$.
Tam giác $SBC$, có
$\dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{SK}}{{SI}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{I^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{I^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{4}{7} \Rightarrow MN = \dfrac{{4a}}{7}.$
Vậy ${S_{\Delta AMN}} = \dfrac{1}{2}AK.MN = \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\dfrac{{4a}}{7} = \dfrac{{2{a^2}\sqrt {21} }}{{49}}.$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
