Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tâm $O$, đường cao $AA'$; $SO = 2a$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn $OA'{\rm{ }}\left( {M \ne A';M \ne O} \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AA'$. Đặt $AM = x$. Tính diện tích $S$ của thiết diện tạo bởi $\left( \alpha \right)$ với hình chóp $S.ABC$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Vì $S.ABC$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABC} \right)$
($O$ là tâm của tam giác $ABC$)
Do đó $SO \bot AA'$ mà $\left( \alpha \right) \bot AA'$ suy ra $SO\parallel \left( \alpha \right)$.
Tương tự ta cũng có $BC\parallel \left( \alpha \right)$
Qua $M $ kẻ $IJ\parallel BC$ với $I \in AB,{\rm{ }}J \in AC$; kẻ $MN\parallel SO$ với $N \in SA'.$
Qua $N$ kẻ $EF\parallel BC$ với $E \in SB,{\rm{ }}F \in SC$.
Khi đó thiết diện là hình thang $IJFE.$
Diện tích hình thang ${S_{IJEF}} = \dfrac{1}{2}\left( {IJ + EF} \right)MN$.
Tam giác $ABC,$ có $\dfrac{{IJ}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} \Rightarrow IJ = \dfrac{{AM.BC}}{{AA'}} = \dfrac{{x.a}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{2x\sqrt 3 }}{3}.$
Tam giác $SBC,$ có $\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{SN}}{{SA'}} = \dfrac{{OM}}{{OA'}} \Rightarrow EF = \dfrac{{OM.BC}}{{OA'}} = \dfrac{{\left( {x - \dfrac{2}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)a}}{{\dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right).$
Tam giác $SOA’,$ có $\dfrac{{MN}}{{SO}} = \dfrac{{MA'}}{{OA'}} \Rightarrow MN = \dfrac{{SO.MA'}}{{OA'}} = \dfrac{{2a.\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - x} \right)}}{{\dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right).$
Vậy
$\begin{array}{l}{S_{IJEF}} = \dfrac{1}{2}MN\left( {EF + IJ} \right) = \dfrac{1}{2}.2\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right)\left( {\dfrac{{2x\sqrt 3 }}{3} + 2\left( {x\sqrt 3 - a} \right)} \right)\\ = \dfrac{2}{3}\left( {4x\sqrt 3 - 3a} \right)\left( {3a - 2x\sqrt 3 } \right) = - 2\left( {8{x^2} - 6\sqrt 3 ax + 3{a^2}} \right).\end{array}$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
