Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\left[ {0; + \infty {\rm{\;}}} \right)$ và $\int\limits_0^{{x^2}} {f(t)dt} = x\sin (\pi x)$. Tính $f(4)$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Đặt $F\left( x \right) = \int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right)dt} = x\sin \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow F\left( {{x^2}} \right) - F\left( 0 \right) = x\sin \left( {\pi x} \right) \Leftrightarrow F\left( {{x^2}} \right) = F\left( 0 \right) + x\sin \left( {\pi x} \right)$
Lấy đạo hàm hai vế ta có
$\begin{array}{l}{\rm{\;}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\left( {F\left( {{x^2}} \right)} \right)^\prime } = \sin \left( {\pi x} \right) + \pi x\cos \left( {\pi x} \right) + {\left( {F\left( 0 \right)} \right)^\prime }\\{\rm{ \;}} \Leftrightarrow 2xf\left( {{x^2}} \right) = \sin \left( {\pi x} \right) + \pi x\cos \left( {\pi x} \right)\end{array}$
Thay $x = 2$ ta có $2.2.f\left( 4 \right) = \sin \left( {2\pi {\rm{\;}}} \right) + 2\pi \cos \left( {2\pi {\rm{\;}}} \right) \Leftrightarrow 4f\left( 4 \right) = 2\pi \Leftrightarrow f\left( 4 \right) = \dfrac{\pi }{2}$
Hướng dẫn giải:
$F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)$
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
