Cho hàm số $f(x)$ có $f(\sqrt 2 ) =  - 2$ và $f'(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {6 - {x^2}} }},\forall x \in ( - \sqrt 6 ;\sqrt 6 )$. Khi đó $\int_0^{\sqrt 3 } f (x)dx$ bằng

Với mọi $x \in ( - \sqrt 6 ;\sqrt 6 )$, ta có:

$f(x) = \int {{f^\prime }} (x){\rm{d}}x = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {6 - {x^2}} }}} \;{\rm{d}}x$$=  - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{1}{{\sqrt {6 - {x^2}} }}} \;{\rm{d}}\left( {6 - {x^2}} \right) =  - \sqrt {6 - {x^2}}  + C$

Mà $f(\sqrt 2 ) =  - 2 \Leftrightarrow  - \sqrt {6 - 2}  + C =  - 2 \Leftrightarrow C = 0$.

Suy ra $f(x) =  - \sqrt {6 - {x^2}}$.

Do đó $I = \int_0^{\sqrt 3 } f (x){\rm{d}}x =  - \int_0^{\sqrt 3 } {\sqrt {6 - {x^2}} } \;{\rm{d}}x$.

Đặt $x = \sqrt 6 \sin t,t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow {\rm{d}}x = \sqrt 6 \cos t\;{\rm{d}}t$.

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 0;x = \sqrt 3  \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}$.

Suy ra

$I =  - \int_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {6 - 6{{\sin }^2}t} }  \cdot \sqrt 6  \cdot \cos t\;{\rm{d}}t$ $=  - 6\int_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}} t\;{\rm{d}}t$ $=  - 3\int_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(\cos 2t + 1)} {\rm{d}}t =  - \left. {3\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2t + t} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}}$$=  - 3\left( {\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{{3\pi  + 6}}{4}$