Cho hàm số \(f(x)\) có \(f(\sqrt 2 ) =  - 2\) và \(f'(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {6 - {x^2}} }},\forall x \in ( - \sqrt 6 ;\sqrt 6 )\). Khi đó \(\int_0^{\sqrt 3 } f (x)dx\) bằng

Với mọi \(x \in ( - \sqrt 6 ;\sqrt 6 )\), ta có:

\(f(x) = \int {{f^\prime }} (x){\rm{d}}x = \int {\dfrac{x}{{\sqrt {6 - {x^2}} }}} \;{\rm{d}}x\)\( =  - \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{1}{{\sqrt {6 - {x^2}} }}} \;{\rm{d}}\left( {6 - {x^2}} \right) =  - \sqrt {6 - {x^2}}  + C\)

Mà \(f(\sqrt 2 ) =  - 2 \Leftrightarrow  - \sqrt {6 - 2}  + C =  - 2 \Leftrightarrow C = 0\).

Suy ra \(f(x) =  - \sqrt {6 - {x^2}} \).

Do đó \(I = \int_0^{\sqrt 3 } f (x){\rm{d}}x =  - \int_0^{\sqrt 3 } {\sqrt {6 - {x^2}} } \;{\rm{d}}x\).

Đặt \(x = \sqrt 6 \sin t,t \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow {\rm{d}}x = \sqrt 6 \cos t\;{\rm{d}}t\).

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = \sqrt 3  \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\).

Suy ra

\(I =  - \int_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {6 - 6{{\sin }^2}t} }  \cdot \sqrt 6  \cdot \cos t\;{\rm{d}}t\) \( =  - 6\int_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}} t\;{\rm{d}}t\) \( =  - 3\int_0^{\dfrac{\pi }{4}} {(\cos 2t + 1)} {\rm{d}}t =  - \left. {3\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2t + t} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}}\)\( =  - 3\left( {\dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{{3\pi  + 6}}{4}\)