Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Tính tổng \(S = a + b + c + d\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {0;2} \right),\,\,\left( {2; - 2} \right)\).

Đồng thời đây cũng là 2 điểm cực trị của hàm số. Do đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) =  - 2\\f'\left( 2 \right) = 0\\f\left( 0 \right) = 2\\f'\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8a + 4b + 2c + d =  - 2\\12a + 4b + c = 0\\d = 2\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(S = a + b + c + d = 1 + \left( { - 3} \right) + 0 + 2 = 0\).