Cho hàm số \(f(x) = 3{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a,b,c,d \in \mathbb{R})\) có ba điểm cực trị là \( - 2\); \( - 1\) và 1. Gọi \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} + px + q(m,n,p,q \in \mathbb{R})\) là hàm số đạt cực trị tại điểm \( - 2\) và có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f(x)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) bằng

Ta có: \({f^\prime }(x) = k(x + 2)(x + 1)(x - 1)\)\( = k\left( {{x^3} + 2{x^2} - x - 2} \right)\)

\(f(x) = k\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + C} \right)\).

Đồng nhất hệ số \({x^4}\) ta thấy \(3 = \dfrac{k}{4} \Leftrightarrow k = 12\).

\( \Rightarrow f(x) = 3{x^4} + 8{x^3} - 6{x^2} - 24x + d.\)

Xét \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} + px + q\)\( \Rightarrow {g^\prime }(x) = 3m{x^2} + 2nx + p\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g( - 2) = 8 + d}\\{g( - 1) = 13 + d}\\{g(1) =  - 19 + d}\\{{g^\prime }( - 2) = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8m + 4n - 2p + q = 8 + d}\\{ - m + n - p + q = 13 + d}\\{m + n + p + q =  - 19 + d}\\{12m - 4n + p = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 4}\\{n =  - 15}\\{p =  - 12}\\{q = 12 + d}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow g\left( x \right) =  - 4{x^3} - 15{x^2} - 12x + 12 + d\)

Xét \(f(x) - g(x) = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^4} + 12{x^3} + 9{x^2} - 12x - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x =  - 1}\\{x =  - 2.}\end{array}} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là

\(S = \int_{ - 2}^1 | f(x) - g(x)|{\rm{d}}x\)\( = \int_{ - 2}^1 {\left| {3{x^4} + 12{x^3} + 9{x^2} - 12x - 12} \right|} {\rm{d}}x = \dfrac{{87}}{5}\)

Kết luận \(S = \dfrac{{87}}{5}\)