Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}} = 12.\) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {2f\left( x \right) - 16} - 4}}{{{x^2} + x - 6}}\) bằng $\dfrac{a}{b}$(phân số tối giản). Tổng $a^2+b^2$ bằng:
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Bước 1: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
Đặt \(g\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}}\) ta có: \(f\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)g\left( x \right) + 16\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x - 2} \right)g\left( x \right) + 16} \right] = 16\).
Bước 2:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\sqrt {2f\left( x \right) - 16} - 4}}{{{x^2} + x - 6}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2f\left( x \right) - 16 - 16}}{{\left( {{x^2} + x - 6} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2f\left( x \right) - 32}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - 16}}{{x - 2}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2f\left( x \right) - 16} + 4} \right)}}\\ = 12.\dfrac{2}{{5.\left( {\sqrt {2.16 - 16} + 4} \right)}} = \dfrac{3}{5}\end{array}\)
=> a=3; b=5
=> $a^2+b^2=34$
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).
Bước 2: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Tách giới hạn cần tính thành tích hai giới hạn, trong đó một giới hạn đề bài cho.