Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $[a; b].$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - 5.$ Hàm số này xác định trên $\left[ { - 3;3} \right]$ và liên tục trên đoạn đó, đồng thời $f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0$ nhưng phương trình $f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0$ có nghiệm $x =  \pm \sqrt 5  \in \left( { - 3;3} \right)$

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {a;b} \right)$.

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0\\x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0\end{array} \right.$. Hàm số này xác định trên $\left[ { - 3;3} \right]$, có nghiệm $x =  - 1$ thuộc khoảng $\left( { - 3;3} \right)$ nhưng gián đoạn tại điểm $x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)$ nên không liên tục trên khoảng $\left( { - 3;3} \right)$ .

Đáp án D đúng. Thật vậy:

+ Vì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tăng trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ nên $f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0\\f\left( b \right) > 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) < 0\\f\left( b \right) < 0\\f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $f\left( x \right) = 0$, hay phương trình $f\left( x \right) = 0$ không thể có nghiệm trong $\left( {a;b} \right)$.