Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1}&{{\rm{khi}}\;\;x \ge 0}\\{ - {x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x < 0}\end{array}} \right..\) Khẳng định nào sau đây sai?
Trả lời bởi giáo viên
Dễ thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) khi \(x \ge 0\) là hàm đa thức nên nó liên tục tại \(x = 2\).
Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {{2^2} - 1} \right)}}{{x - 2}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4\)
Do đó hàm số liên tục và có đạo hàm tại \(x = 2\).
Xét các giới hạn $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\end{array} \right..$
Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)$ nên hàm số không liên tục tại \(x = 0\).
Do đó, hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Hướng dẫn giải:
Xét tính đúng sai của mỗi đáp án bằng cách xét tính liên tục và đạo hàm của hàm số tại các điểm \(x = 0,x = 2\).