Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Đặt \(S\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) và \(P\left( x \right) = f\left( x \right)g\left( x \right)\).

Xét các mệnh đề:

i) Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn

ii) Nếu \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ và \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn

iii) Nếu \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ

Số mệnh đề đúng là:

Xét mệnh đề i):

\(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số chẵn thì $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\,g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R$

Suy ra  $f\left( x \right) + g\left( x \right) = f\left( { - x} \right) + g\left( { - x} \right)\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow S\left( x \right) = S\left( { - x} \right),\,\,\,\forall x \in R$

$f\left( x \right)g\left( x \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow P\left( x \right) = P\left( { - x} \right),\,\,\,\forall x \in R$

Do đó \(y = S\left( x \right)\) và \(y = P\left( x \right)\) cũng là những hàm số chẵn.

Vậy mệnh đề i) đúng.

Xét mệnh đề ii):

\(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là những hàm số lẻ thì $ - f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\, - g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R$

Suy ra $ - \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) = f\left( { - x} \right) + g\left( { - x} \right)\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - S\left( x \right) = S\left( { - x} \right),\,\,\,\forall x \in R$ do đó \(y = S\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Lại có $f\left( x \right)g\left( x \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow P\left( x \right) = P\left( { - x} \right),\,\,\,\forall x \in R$ nên \(y = P\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

Vậy mệnh đề ii) đúng.

Xét mệnh đề iii):

\(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(y = g\left( x \right)\) là hàm số lẻ thì $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\,\, - g\left( x \right) = g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in R$

Suy ra $ - f\left( x \right)g\left( x \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - P\left( x \right) = P\left( { - x} \right),\,\,\,\forall x \in R$ nên \(y = P\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Vậy mệnh đề iii) đúng.

Vậy số mệnh đề đúng là $3$.