Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 3x\) và \(g\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} - x\), với \(a,b,c,m,n \in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị là \( - 1,\,\,3\) và 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) bằng:

Vì hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị là \( - 1,\,\,3\) và 4 nên

\(f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Thay \(x = 0\) ta có: \(f'\left( 0 \right) - g'\left( 0 \right) = 12a\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 3x\\g\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} - x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + 3\\g'\left( x \right) = 3m{x^2} + 2nx - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 3\\g'\left( 0 \right) =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 3 - \left( { - 1} \right) = 12a \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\).

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) bằng:

\(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right|}  = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {\dfrac{1}{3}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)} \right|dx}  = \dfrac{{131}}{{12}}\).