Cho hai đường tròn $\left( {{O_1}} \right)$ và $\left( {{O_2}} \right)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ và một đường thẳng $d$ tiếp xúc với $\left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right)$ lần lượt tại $B,C$.

Tam giác $ABC$ là

Xét $\left( {{O_1}} \right)$ có ${O_1}B = {O_1}A$

$\Rightarrow \Delta {O_1}AB$ cân tại ${O_1}$

$\Rightarrow \widehat {{O_1}BA} = \widehat {{O_1}AB}$

Xét $\left( {{O_2}} \right)$ có ${O_2}C = {O_2}A $

$\Rightarrow \Delta {O_2}CA$ cân tại ${O_2}$

$\Rightarrow \widehat {{O_2}CA} = \widehat {{O_2}AC}$

Mà $\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = 360^\circ  - \widehat C - \widehat B = 180^\circ $

$ \Leftrightarrow 180^\circ  - \widehat {{O_1}BA} - \widehat {{O_1}AB} + 180^\circ  - \widehat {{O_2}CA} - \widehat {{O_2}AC} = 180^\circ $

$\Leftrightarrow 2\left( {\widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC}} \right) = 180^\circ $

$ \Rightarrow \widehat {{O_1}AB} + \widehat {{O_2}AC} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ $

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$.