Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có:
\(\sqrt{3}{{x}^{2}}=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1(TM) \\ & x=-1(L) \\ \end{align} \right.\)
Do đó:
\(S=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\left. \frac{\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\)
Tính \(I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\).
Đặt \(x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=1\Rightarrow \sin t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6} \\ & x=2\Rightarrow \sin t=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2} \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{align} & I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}.2\cos tdt}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{4{{\cos }^{2}}tdt}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{2\left( \cos 2t+1 \right)dt} \\ & =\left. \sin 2t \right|_{\pi /6}^{\pi /2}+\left. 2t \right|_{\pi /6}^{\pi /2}=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}\)
Suy ra \(S=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\).
Hướng dẫn giải:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right),y=0,x=a;x=b\) \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\)
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
