Cho đường tròn \(\left( C \right):\,{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 7 = 0\) và đường thẳng \(d:\,x + y + 1 = 0\). Tìm tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng \(d\) và cắt đường tròn \(\left( C \right)\) theo dây cung có độ dài bằng \(2\).
Trả lời bởi giáo viên
Tâm \(O\left( {1;\, - 1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)} = 3\)
Gọi đường thẳng cần tìm là \(\left( {d'} \right):x + y + c = 0\).
Gọi \(A,\,B\) lần lượt là giao điểm của \(\left( {d'} \right)\) và \(\left( C \right)\).
Xét \(\Delta OHB\) vuông tại \(H\) (\(H\) là chân đường cao kẻ từ \(O\) trong tam giác \(OAB\)).
Ta có: \(d\left( {O,\,AB} \right) = \dfrac{{\left| {1 + \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt 2 }}\) \( = OH\) \( = \sqrt {O{B^2} - B{H^2}} \) \( = \sqrt {{3^2} - {1^2}} = 2\sqrt 2 \).
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| c \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \left| c \right| = 4 \Leftrightarrow c = \pm 4\).
Vậy đường thẳng cần tìm có dạng \(x + y + 4 = 0\) hoặc \(x + y - 4 = 0\).
Hướng dẫn giải:
- Gọi phương trình đường thẳng cần tìm (song song với đường thẳng \(d\)).
- Sử dụng quan hệ khoảng cách giữa tâm và đường thẳng đó để tìm phương trình đường thẳng.