Cho các số thực \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn \({x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1\) và hàm số \(f\left( t \right) = {t^4} - {t^2} + 2\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(Q = f\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right)\). Tính \(M + m\)?

Ta có: \({x^2} + 2{y^2} + 2xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + {y^2} = 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \sin \alpha \\y = {\rm{cos}}\alpha \end{array} \right.\). Ta có: \(Q = f\left( {\dfrac{{x + y + 1}}{{x + 2y - 2}}} \right) = f\left( {\dfrac{{\sin \alpha  + 1}}{{\sin \alpha  + {\rm{cos}}\,\alpha  - 2}}} \right)\)

Đặt \(t = \dfrac{{\sin \alpha  + 1}}{{\sin \alpha  + {\rm{cos}}\,\alpha  - 2}}\). Ta có: \(Q = f\left( {\dfrac{{\sin \alpha  + 1}}{{\sin \alpha  + {\rm{cos}}\,\alpha  - 2}}} \right) = f\left( t \right)\)

\(t = \dfrac{{\sin \alpha  + 1}}{{\sin \alpha  + {\rm{cos}}\,\alpha  - 2}}\,\,\left( {\alpha  \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow t\sin \alpha  + t{\rm{cos}}\,\alpha  - 2t = \sin \alpha  + 1 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\sin \alpha  + t\,{\rm{cos}}\,\alpha  = 2t + 1\) (*)

Để phương trình (*) tồn tại nghiệm \(\alpha \) thì \({\left( {t - 1} \right)^2} + {t^2} \ge {\left( {2t + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 + {t^2} \ge 4{t^2} + 4t + 1\)\( \Leftrightarrow 2{t^2} + 6t \le 0 \Leftrightarrow  - 3 \le t \le 0\)

Xét \(Q = f\left( t \right) = {t^4} - {t^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 3;0} \right]\), có: \(f'\left( t \right) = 4{t^3} - 2t,\,\,f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t =  \pm \sqrt {\dfrac{1}{2}} \end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 3;0} \right]\), có \(f\left( { - 3} \right) = 74,\,f\left( { - \sqrt {\dfrac{1}{2}} } \right) = \dfrac{7}{4},\,f\left( 0 \right) = 2\)\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{7}{4},\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( t \right) = 74\)

\( \Rightarrow \)M + m\( = \dfrac{7}{4} + 74 = \dfrac{{303}}{4}\).