Cho ABCD là hình thang vuông tại \(A\) và \(D.\) Đường chéo \(BD\)vuông góc với \(BC.\) Biết \(AD = 10cm,DC = 20cm\) . Tính độ dài \(BC\).

Kẻ \(BE \bot CD\) tại \(E\)

Suy ra tứ giác \(ABED\) là hình chữ nhật (vì \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \)) nên \(BE = AD = 10\,\,cm\)

Đặt \(EC = x\,\left( {0 < x < 25} \right)\) thì \(DE = 20 - x\)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong  tam giác vuông \(BCD\) ta có

\(\begin{array}{l}B{E^2} = ED.EC \Leftrightarrow x\left( {20 - x} \right) = 100\\ \Leftrightarrow {x^2} - 20x + 100 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 10\left( {tm} \right)\end{array}\)

Với \(EC = 10\), theo định lý Pytago ta có \(BC = \sqrt {B{E^2} + E{C^2}}  = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}}  = 10\sqrt {2} \)

Vậy \(BC = 10\sqrt {2} \,cm\).