Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(a\) và \(b\) là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị \(y = {\log _a}x,\,\,y = {\log _b}x\) và trục hoành lần lượt tại \(A,\,\,B\) và \(H\) phân biệt ta đều có \(3HA = 4HB\) (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \(H\left( {{x_0};0} \right)\,\,\left( {{x_0} > 1} \right)\) ta có: \(A\left( {{x_0};{{\log }_a}{x_0}} \right);\,\,B\left( {{x_0};{{\log }_b}{x_0}} \right)\).
\( \Rightarrow HA = {\log _a}{x_0}\); \(HB = - {\log _b}{x_0}\) (do \({\log _a}{x_0} > 0,\,\,{\log _b}{x_0} < 0\)).
Theo bài ra ta có: \(3HA = 4HB\)\( \Leftrightarrow 3{\log _a}{x_0} = - 4{\log _b}{x_0}\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\log _a}{x_0} + 4{\log _b}{x_0} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{{\log }_{{x_0}}}a}} + \dfrac{4}{{{{\log }_{{x_0}}}b}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{{\log }_{{x_0}}}b + 4{{\log }_{{x_0}}}a}}{{{{\log }_{{x_0}}}b.{{\log }_{{x_0}}}a}} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _{{x_0}}}{b^3} + {\log _{{x_0}}}{a^4} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _{{x_0}}}{a^4}{b^3} = 0\\ \Leftrightarrow {a^4}{b^3} = 1\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(H\left( {{x_0};0} \right)\,\,\left( {{x_0} > 1} \right)\), xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B\).
- Tính \(HA,\,\,HB\) sau đó biến đổi tìm mối liên hệ giữa \(a\) và \(b\).
