Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(a > 0\), \(b > 0\) , nguyên tố cùng nhau và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{ax}} - 1}}{{\sin bx}} = \dfrac{5}{3}\). Tích \(ab\) có thể nhận giá trị bằng số nào trong các số dưới đây?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{ax}} - 1}}{{\sin bx}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{{e^{ax}} - 1}}{{ax}}.\dfrac{{bx}}{{\sin bx}}.\dfrac{a}{b}} \right) = 1.1.\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}\)
Vậy để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{ax}} - 1}}{{\sin bx}} = \dfrac{5}{3}\) thì \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{5}{3}\).
Vì \(a,b > 0\) và nguyên tố cùng nhau nên $a = 5,b = 3$. Do đó \(ab = 5.3 = 15\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng các giới hạn cơ bản \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin ax}}{{ax}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{ax}} - 1}}{{ax}} = 1\)
