Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(\int\limits_1^2 {\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)\ln xdx} = \dfrac{a}{4} + b\ln 2 + c{\ln ^2}2\) với \(a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: \(\int\limits_1^2 {\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)\ln xdx} = \int\limits_1^2 {x\ln xdx} + 2\int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln xdx}}{x}} = {I_1} + 2{I_2}\).
Xét \({I_1} = \int\limits_1^2 {x\ln xdx} \).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{1}{x}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\ln 2 - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {xdx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\ln 2 - \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\ln 2 - \dfrac{1}{2}.\left( {2 - \dfrac{1}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\ln 2 - \dfrac{3}{4}\end{array}\)
Xét \({I_2} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln xdx}}{x}} \).
Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \ln 1 = 0\\x = 2 \Rightarrow t = \ln 2\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow {I_2} = \int\limits_0^{\ln 2} {tdt} = \left. {\dfrac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^{\ln 2} = \dfrac{{{{\ln }^2}2}}{2}\).
\( \Rightarrow I = {I_1} + 2{I_2} = 2\ln 2 - \dfrac{3}{4} + {\ln ^2}2 = - \dfrac{3}{4} + 2\ln 2 + {\ln ^2}2\).
\( \Rightarrow a = - 3,\,\,b = 2,\,\,c = 1\).
Vậy \(a + b + c = - 3 + 2 + 1 = 0\).
Hướng dẫn giải:
- Tách thành hai tích phân \(\int\limits_1^2 {\left( {x + \dfrac{2}{x}} \right)\ln xdx} = \int\limits_1^2 {x\ln xdx} + 2\int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln xdx}}{x}} = {I_1} + 2{I_2}\).
- Đối với tích phân \({I_1} = \int\limits_1^2 {x\ln xdx} \), sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
- Đối với tích phân \({I_2} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln xdx}}{x}} \), sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \ln x\).
- Tích tích phân đề bài, sau đó đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
