Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển \({\left( {{x^2} - \dfrac{2}{x}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{{\left( {{x^2}} \right)}^{n - k}}.{{\left( {\dfrac{2}{x}} \right)}^k}} \) bằng \(49\). Khi đó hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển đó là

Một khối lập phương có độ dài cạnh là ${\rm{2cm}}$ được chia thành $8$ khối lập phương cạnh ${\rm{1cm}}$. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương cạnh ${\rm{1cm}}$.

Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được năm ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng $4$ ván và người chơi thứ hai mới thắng $2$ ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng.

Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn $\dfrac{{C_n^0}}{{1.2}} + \dfrac{{C_n^1}}{{2.3}} + \dfrac{{C_n^2}}{{3.4}} + ... + \dfrac{{C_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{{{2^{100}} - n - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$.

Xét một bảng ô vuông gồm \(4 \times 4\) ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số \(1\) hoặc \( - 1\) sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng \(0\). Hỏi có bao nhiêu cách?

Thầy X có $15$ cuốn sách gồm $4$ cuốn sách toán, $5$ cuốn sách lí và $6$ cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên $8$ cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ $3$ môn.

Một con thỏ di chuyển từ địa điểm $A$ đến địa điểm $B$ bằng cách qua các điểm nút (trong lưới cho ở hình vẽ) thì chỉ di chuyển sang phải hoặc đi lên (mỗi cách di chuyển như vậy xem là một cách đi). Biết nếu thỏ di chuyển đến nút $C$ thì bị cáo ăn thịt, tính xác suất để thỏ đến được vị trí $B$.

Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại $6$ mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong $3$ lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt $1$ chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.