Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right| = 1\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\). Tính \(a + b.\)
Đáp án
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án
Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình ban đầu cho $\left| {{1+i}} \right|$
Thay vào giả thiết ta có:
$\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right| = 1$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {\left( {1 + i} \right)z + 5 - i} \right|}}{{\left| {1 + i} \right|}} = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\left( {1 + i} \right)z + 5 - i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow \left| {z + \dfrac{{5 - i}}{{1 + i}}} \right| = \dfrac{1}{{\left| {1 + i} \right|}}\\ \Leftrightarrow \left| {z + 2 - 3i} \right| = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \left| {z - \left( { - 2 + 3i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)
Bước 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 3\end{array} \right.\).
Vậy \(a + b = - 2 + 3 = 1\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình ban đầu cho $\left| {{1+i}} \right|$
Sử dụng công thức \(\left| {\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}\).
Bước 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn
Tập hợp số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - \left( {a + bi} \right)} \right| = R\) là đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R\).
Giải thích thêm:
Cách 2:
Gọi $z=x+y i$
$\begin{aligned}
&\text { Ta có: }|(1+i)(x+y i)+5-i|=1 \\
&\Leftrightarrow|x+y i+x i-y+5-i|=1 \\
&\Leftrightarrow|(x-y+5)+(x+y-1) i|=1 \\
&\Leftrightarrow(x-y+5)^{2}+(x+y-1)^{2}=1 \\
&\Leftrightarrow 2 \mathrm{x}^{2}+2 y^{2}+8\mathrm{x}-12\mathrm{y}+25=0 \\
&\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+4 \mathrm{x}-6 y+\frac{25}{2}=0 \\
&\Rightarrow I(-2; 3) \Rightarrow a+b=1
\end{aligned}$
Câu hỏi khác
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 1 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 2 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 4 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 5 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
- Đề thi tư duy định lượng - Đề số 11 đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội có lời giải chi tiết
