Biết rằng a+b=4 và lim hữu hạn. Tính giới hạn L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{b}{{1 - {x^3}}} - \dfrac{a}{{1 - x}}} \right).
Trả lời bởi giáo viên
Bước 1:
Ta có \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{1 - {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}.
Bước 2:
Khi đó \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right) hữu hạn thì tử thức a + ax + a{x^2} - b phải có nghiệm bằng 1
\Leftrightarrow a + a.1 + a{.1^2} - b = 0 \Leftrightarrow 3a - b = 0.
Vậy ta có \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\3a - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.
Bước 3:
\Rightarrow L = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)
= - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{1 + x + {x^2}}} = 1.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức.
Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn hữu hạn suy ra a,b
Bước 3: Với a,b tìm được ở trên thì tính giới hạn hàm số có được