Biết phương trình \({x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) \(\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) nhận \({z_1} = - 1 + i\) và \({z_2} = 1 + \sqrt 2 i\) là nghiệm. Tính \(a + b + c + d\).
Trả lời bởi giáo viên
Nhận xét: Phương trình đã cho nhận \({z_1},{z_2}\) làm nghiệm thì cũng nhận \(\overline {{z_1}} ,\overline {{z_2}} \) làm nghiệm.
Khi đó \({z_1} = - 1 + i \Rightarrow \overline {{z_1}} = - 1 - i \Rightarrow m = {z_1} + \overline {{z_1}} = - 2,n = {z_1}\overline {{z_1}} = 2\).
\({z_2} = 1 + \sqrt 2 i \Rightarrow \overline {{z_2}} = 1 - \sqrt 2 i \Rightarrow p = {z_2} + \overline {{z_2}} = 2,q = {z_2}\overline {{z_2}} = 3\).
Vậy phương trình đã cho tương đương \(\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 2x + 6 = 0\)
Do đó \(a = 0,b = 1,c = 2,d = 6 \Rightarrow a + b + c + d = 0 + 1 + 2 + 6 = 9\).
Hướng dẫn giải:
Nhận xét: Phương trình đã cho nhận hai số phức \({z_1},{z_2}\) làm nghiệm thì cũng nhận \(\overline {{z_1}} ,\overline {{z_2}} \) làm nghiệm.
- Tính \(m = {z_1} + \overline {{z_1}} ,n = {z_1}\overline {{z_1}} \) và \(p = {z_2} + \overline {{z_2}} ,q = {z_2}\overline {{z_2}} \) .
- Khi đó suy ra phương trình tương đương \(\left( {{x^2} - mx + n} \right)\left( {{x^2} - px + q} \right) = 0\).
- Đồng nhất hệ số tìm \(a,b,c,d\) và kết luận.