Biết $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{{{x^2}dx}}{{{{(x\sin x + \cos x)}^2}}} =  - \dfrac{{a\pi }}{{b + c\pi \sqrt 3 }} + d\sqrt 3 }$, với $a,b,c,d \in {Z^ + }$. Tính $P = a + b + c + d$.

Cho tích phân $I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} ,$ nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\{\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì 

Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x}$ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Cho $f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {g\left( x \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }\,{\rm{d}}x} .$

Biết $\int\limits_2^{e + 1} {\dfrac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}dx = a + b{e^{ - 1}}}$ với $a,b \in \mathbb{Z}.$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho $\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f'\left( x \right)dx}  = 2019;$ $4f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2020.$ Tính $\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right)dx.}$

Cho $y = f\left( x \right)$ là một hàm số bất kỳ có đạo hàm trên $\mathbb{R},$ đặt $I = \int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)dx} .$ Khẳng đinh nào dưới đây đúng?

Biết rằng $\int\limits_1^a {\ln xdx}  = 1 + 2a\,\,\left( {a > 1} \right)$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?