Câu hỏi:
2 năm trước
Xác định giá trị thực \(k\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}}&{{\rm{khi}}}&{x \ne 1}\\k&{{\rm{khi}}}&{x = 1}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 1\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018x + 1} - \sqrt {x + 2018} }}$ $ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {{x^{2016}} + x - 2} \right)\left( {\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2018x + 1 - x - 2018}}$
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 2} \right)\left( {\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017\left( {x - 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 2} \right)\left( {\sqrt {2018x + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017}} = 2\sqrt {2019} \)
Mà \(f\left( 1 \right) = k\)
Suy ra hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow k = 2\sqrt {2019} \).
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)
