Tìm tất cả các số nguyên n để: Phân số 12n+1/ 30n+2 là phân số tối giản.

Chúc pẹn năm mới zui zẻ

$\text{Gọi ƯC LN ( 12n+1 ; 30n+2) là d}$ 

` ⇒ 12n+1 ⋮ d ⇒ 5(12n+1) ⋮ d ⇒ 60n+5 ⋮ d `

` 30n+2 ⋮ d ⇒ 2(30n+2) ⋮ d ⇒ 60n+4 ⋮ d `

` => (60n+5)-(60n+4) ⋮ d `

` => (60n-60n)+(5-4) ⋮ d `

` => 1 ⋮ d `

` => ƯC LN (12n+1 ; 30n+2)=1 `

` => (12n+1)/(30n+2) ` $\text{là phân số tối giản với mọi số nguyên n}$ 

Gọi `d` là ước chung nguyên tố của `12n+1` và `30n+2`

Ta có : `{(12n+1 \vdots d ),(30n+2 \vdots d):}`

`⇔{(5.(12n+1) \vdots d ),(2.(30n+2) \vdots d):}`

`⇔ {(60n+5 \vdots d ),(60n+4 \vdots d):}`

`⇒ (60n+5)-(60n+4) \vdots d`

`⇔ 1  \vdots d`

`⇔ d=±1`

Vậy `(12n+1)/(30n+2)` tối giản `AA n` nguyên