Cho a, b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng 8a + 3b/ 5a + 2b là phân số tối giản.

Gọi `ƯCLN( 8a + 3b , 5a + 2b ) = x ( x ∈ N** )`

`⇒ 8a + 3b vdots x`

    `5a + 2b vdots x`

`⇒ 2 . ( 8a + 3b ) vdots x`

    `3 . ( 5a + 2b ) vdots x`

`⇒ 16a + 6b vdots x`

     `15a + 6b vdots x`

`⇒ ( 16a + 6b ) - ( 15a + 6b ) vdots x`

`⇒ a vdots x`

`⇒ 8a vdots x , 5a vdots x`

Mà `8a + 3b vdots x , 5a + 2b vdots x⇒ 3b vdots x , 2b vdots x`

`⇒ b vdots x`

Mà `a , b` nguyên tố cùng nhau nên ` ƯCLN( a ; b ) = 1 ⇒ x = 1`

`⇒ ( 8a + 3b )/( 5a + 2b )` là phân số tối giản `(` Điều phải chứng minh `)`

Đáp án + Giải thích các bước giải

$\text{Gọi ƯC LN ( 8a+3b ; 5a+2b ) là d}$ 

$\text{Ta có:}$ 

` 8a+3b ⋮ d ⇒ 2(8a+3b) ⋮ d ⇒ 16a + 6b ⋮ d `

` 5a+2b ⋮ d ⇒ 3(5a+2b) ⋮ d ⇒ 15a+6b ⋮ d `

` => (16a+6b)-(15a+6b) ⋮ d `

` => 16a + 6b - 15a - 6b ⋮ d `

` => (16a-15a)+(6b-6b) ⋮ d `

` => a ⋮ d `

` 8a+3b ⋮ d ⇒ 5(8a+3b) ⋮ d ⇒ 40a +15b ⋮ d `

` 5a+2b ⋮ d ⇒ 8(5a+2b) ⋮ d ⇒ 40a+16b ⋮ d `

` => (40a+16b)-(40a+15b) ⋮ d `

` => (40a-40a)+(16b-15b) ⋮ d `

` => b ⋮ d `

$\text{Mà a ; b là hai số nguyên tố cùng nhau}$

` => ƯC LN ( 8a+3b ; 5a+2b)=1 `