Xét các số thực không âm \(a,\,b\) thỏa mãn \(2a + b \le {\log _2}\left( {2a + b} \right) + 1.\) Giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) bằng bao nhiêu?

Đáp án: 

Bước 1: Đặt \(t = 2a + b\;\left( {t \ge 0} \right)\), đưa bất phương trình về dạng \(f\left( t \right) \ge 0\)

Đặt \(t = 2a + b\;\left( {t \ge 0} \right)\), ta có giả thiết đã cho tương đương với \(f\left( t \right) = {\log _2}t - t + 1 \ge 0\)

Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} - 1 > 0 \Leftrightarrow t < \dfrac{1}{{\ln 2}}\) . Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{1}{{\ln 2}}} \right)\)

Bước 2: Chứng minh \(t \ge 1\).

Ta chứng minh \(t \ge 1\) .

Thật vậy, giả sử \(t < 1\) thì \(f\left( t \right) < f\left( 1 \right) = 0\) (mâu thuẫn)

Vậy \(2a + b \ge 1\)

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {2a + b} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {1^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 5\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{{{{\left( {2a + b} \right)}^2}}}{5} \ge \dfrac{1}{5}\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{5}\\b = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\)