Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 2x - 8y - 8 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) nào dưới đây song song với đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) và cắt đường tròn (C) theo dây cung có độ dài \( 6\)?
Trả lời bởi giáo viên
(C) có tâm \(I( - 1;4)\) và \(R = \sqrt {1 + {4^2} + 8} = 5\)
Phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) nên có dạng \(\Delta :\)\(3x + 4y + c = 0\,\,\left( {c \ne - 2} \right)\)
Gọi M là hình chiếu vuông góc của I xuống cạnh AB. Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IM \bot AB\\AM = MB = \dfrac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.\)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AIM ta có
\(A{I^2} = I{M^2} + A{M^2}\) \( \Leftrightarrow I{M^2} = A{I^2} - A{M^2} = {5^2} - {3^2} = {4^2} \) \(\Rightarrow IM = 4\)
Ta cũng có:
\(IM = d\left( {I;\Delta } \right) \Leftrightarrow 4 = \dfrac{{\left| {3\left( { - 1} \right) + 4.4 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} \\ \Leftrightarrow \left| {c + 13} \right| = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c + 13 = 20\\c + 13 = - 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = - 33\end{array} \right.\)
Vậy \(\Delta :\) \(3x + 4y + 7 = 0\) hoặc \(\Delta :\) \(3x + 4y - 33 = 0\)
Hướng dẫn giải:
- Phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với đường thẳng \(3x + 4y - 2 = 0\) nên có dạng \(\Delta :\)\(3x + 4y + c = 0\,\,\,\left( {c \ne - 2} \right)\)
- Tính được khoảng cách từ tâm I đến AB và dựa vào công thức tính khoảng cách từ I đến AB để tìm c