Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right):3x - 4y - 12 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1} \right)\) và tạo với \(\left( d \right)\) một góc \({45^o}\) có dạng \(ax + by + 5 = 0\), trong đó a,b cùng dấu. Khẳng định nào sau đây đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Đường thẳng \(\left( d \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)\)
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;b} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {d;\Delta } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \cos {45^o} = \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {3a - 4b} \right| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow 2{\left( {3a - 4b} \right)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 7{a^2} + 48ab - 7{b^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Mặt khác \(M\left( {2; - 1} \right) \in \Delta \Rightarrow 2a - b + 5 = 0 \Leftrightarrow b = 2a + 5\) thế vào (1)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 7{a^2} + 48a\left( {2a + 5} \right) - 7{\left( {2a + 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 75{a^2} + 100a - 175 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 7\,\,\,\,\,(tm)\\a = - \dfrac{7}{3} \Rightarrow b = \dfrac{1}{3}\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 8.\end{array}\)Hướng dẫn giải:
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai VTPT (VTCP).
