Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) và hai điểm \(M\left( 4;-\,4;2 \right),\,\,N\left( 6;0;6 \right).\) Gọi \(E\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(EM+EN\) đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E.\)

Xét mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) có tâm \(I\left( 1;2;2 \right),\) bán kính \(R=3.\)

Ta có \(MI=NI=3\sqrt{5}>3=R\)\(\Rightarrow \,\,M,\,\,N\) nằm bên ngoài khối cầu \(\left( S \right).\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\)\(\Rightarrow \,\,H\left( 5;-\,2;4 \right)\) và \(E{{H}^{2}}=\frac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}.\)

Lại có \({{\left( EM+EN \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)=2\left( E{{H}^{2}}+\frac{M{{N}^{2}}}{4} \right)\).

Để \({{\left\{ EM+EN \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow E{{H}_{\max }}\)

Khi và chỉ khi \(E\) là giao điểm của \(IH\) và mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(E\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=a.\overrightarrow{EI}=b.\overrightarrow{IH}=b.\left( 4;-\,4;2 \right).\)

Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, \({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-2;1 \right)=\frac{1}{2}\left( 4;-4;2 \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(2x-2y+z+9=0.\)