Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \left( {{m^2} - 2m} \right)t\\y = 5 - \left( {m - 4} \right)t\\z = 7 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$ và điểm $A\left( {1;2;3} \right)$. Gọi $S$ là tập các giá trị thực của tham số $m$ để khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $\Delta$ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của $S$ là

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {2;5;7 - 2\sqrt 2 } \right)$ và nhận $\overrightarrow u  = \left( {{m^2} - 2m;4 - m;0} \right)$ làm VTCP.

Có $\overrightarrow {AM}  = \left( {1;3;4 - 2\sqrt 2 } \right) \Rightarrow AM= \sqrt{34 - 16\sqrt 2}$.

Để $d\left( {A,\Delta } \right) = A{H_{\min }}$ thì $\sin \alpha  = \dfrac{{AH}}{{AM}}$ đạt GTNN hay $\cos \alpha$ đạt GTLN.

Mà $\cos \alpha  = \cos \left( {AM,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{ {\sqrt{34 - 16\sqrt 2} }.\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }}$ 

Mà $\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right| \le \sqrt {{1^2} + {3^2}} .\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}}$

$\Rightarrow \dfrac{{\left| {\left( {{m^2} - 2m} \right) + 3\left( {4 - m} \right)} \right|}}{{ {\sqrt{34 - 16\sqrt 2} }.\sqrt {{{\left( {{m^2} - 2m} \right)}^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} }} \le \dfrac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt{34 - 16\sqrt 2} }}$ 

$\Rightarrow \cos \alpha$ đạt GTLN nếu $\dfrac{{{m^2} - 2m}}{1} = \dfrac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 4 - m \Leftrightarrow 3{m^2} - 5m - 4 = 0$

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do $ac < 0$ nên tổng các giá trị của $m$ là $\dfrac{5}{3}$ .