Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các tia Ox;Oy;Oz lần lượt tại các điểm A;B;C (A;B;C≠O) sao cho thể tích của tứ diện OABC nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)⇒ Phương trình mặt phẳng (P):xa+yb+zc=1.
Vì OA,OB,OC đôi một vuông góc ⇒ Thể tích khối chóp O.ABC là V=16OA.OB.OC=abc6.
Điểm M∈(P) suy ra 1=1a+2b+3c≥33√1a.2b.3c ⇔1≥33.6abc ⇒abc≥162⇒V≥27.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1a=2b=3c=13⇒{a=3b=6c=9. Vậy (P):x3+y6+z9=1.
Hướng dẫn giải:
+) Gọi A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)⇒ Phương trình mặt phẳng (P):xa+yb+zc=1.
+) Vì mặt phẳng chắn trên các trục tọa độ nên sử dụng phương trình đoạn chắn và áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho việc xác định thể tích min. Từ đó lập được phương trình mặt phẳng.
