Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\), \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\) vuông góc với \({d_1}\) và cắt \({d_2}\) có phương trình là

Đường thẳng \({d_1}\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1;2} \right)\).

Gọi \(A\left( { - 1 + t;2 + 2t;1 + t} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \({d_2}\)

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {t - 2;2t + 1;t} \right)\).

Do \(\Delta  \bot {d_1}\) nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow t - 2 - 1.\left( {2t + 1} \right) + 2t = 0\) \( \Leftrightarrow t = 3\)\( \Rightarrow A\left( {2;\,8;\,4} \right)\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1;1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1;7;3} \right)\) làm một VTCP nên \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{7} = \dfrac{{z - 1}}{3}\).