Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,0,0} \right),B\left( {0,3,0} \right),C\left( {0,0, - 4} \right)$. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác $ABC$. Tìm phương trình tham số của đường thẳng $OH$ trong các phương án sau:  

\(H\)  là trực tâm của $\Delta ABC \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH}  = 0\end{array} \right.$

Ta giả sử $H\left( {x,y,z} \right)$, ta có

\(\overrightarrow {BC}  = (0, - 3, - 4)\)

\(\overrightarrow {AC}  = ( - 2,0, - 4)\)

\(\overrightarrow {AH}  = (x - 2,y,z)\)

\(\overrightarrow {BH}  = (x,y - 3,z)\)

\(\overrightarrow {AB}  = ( - 2,3,0)\).

Điều kiện \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\)

Điều kiện \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\)

Ta tính \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12, - 8,6)\).

Điều kiện \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH}  = 0 \Leftrightarrow  - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0 \Leftrightarrow  - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\)

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}&{}\\{x + 2z = 0}&{}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{72}}{{61}}}&{}\\{y = \dfrac{{48}}{{61}}}&{}\\{z = \dfrac{{ - 36}}{{61}}}&{}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(H(\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})\)

Suy ra \(\overrightarrow {OH}  = (\dfrac{{72}}{{61}},\dfrac{{48}}{{61}},\dfrac{{ - 36}}{{61}})\)  là vecto chỉ phương của $OH$.

Chọn \(\vec u = (6,4, - 3)\)  là vecto chỉ phương của $OH$ và $OH$ qua $O\left( {0,0,0} \right)$ nên phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6t}&{}\\{y = 4t}&{}\\{z =  - 3t}&{}\end{array}} \right.\)