Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {4;0;1} \right)\), \(C\left( { - 10;5;3} \right)\). Độ dài đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác \(ABC\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(D\) là chân phân giác trong của góc \(\widehat B\), ta có \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{3}{{15}} \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {DC} \)
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {DA} = - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow - 5\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5\left( {2 - x} \right) = - 10 - x\\ - 5\left( { - 1 - y} \right) = 5 - y\\ - 5\left( {3 - z} \right) = 3 - z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x = 0\\6y = 0\\6z = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \(D\left( {0;0;3} \right)\). Vậy \(BD = 2\sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(D\) là điểm cần tìm.
- Tìm mối quan hệ giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {DA} \) dựa vào tính chất đường phân giác.
- Dựa vào mối quan hệ trên tìm tọa độ điểm \(D\).