Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\) và hai điểm \(A\left( {6;0;0} \right),B\left( {0;0; - 6} \right)\). Khi điểm \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = MA + MB\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\,\, \Rightarrow M\left( {1 + 2t;1 + 2t; - 1 + t} \right)\).
Khi đó, \(P = MA + MB \)\(= \sqrt {{{\left( {2t - 5} \right)}^2} + {{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} \)\(+ \sqrt {{{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {t + 5} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {9{t^2} - 18t + 27} + \sqrt {9{t^2} + 18t + 27} \)\( = 3\left[ {\sqrt {{{\left( {1 - t} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} } \right]\)\( \ge 3\sqrt {{{\left( {1 - t + t + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = 6\sqrt 3\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{1 - t}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{t + 1}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow 1 - t = t + 1 \Leftrightarrow t = 0\).
Vậy \(\min P = 6\sqrt 3 \) khi và chỉ khi \(t = 0 \Leftrightarrow M\left( {1;1; - 1} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Tham số hóa điểm \(M\).
Sử dụng BĐT Minkowski \(\sqrt {{a^2} + {x^2}} + \sqrt {{b^2} + {y^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{y}\)) biện luận GTNN của \(P = MA + MB\).
