Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), với \(a,b,c\) đều là các số thực dương. Biết mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt 3 mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt {13} \) và mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(M\left( {2;0;1} \right)\). Tính \(a + b + c\)

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\,\,\,\left( {a,b,c > 0} \right),\,\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} ,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > d} \right)\)

\(\begin{array}{l}M\left( {2;0;1} \right) \in \left( S \right) \Rightarrow {2^2} + {0^2} + {1^2} - 2a.2 - 2b.0 - 2c.1 + d = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 4a + 2c - d = 5 \Leftrightarrow d = 4a + 2c - 5\end{array}\)

Khi đó: \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 2c + 5} \)

\(r_1^2 = {R^2} - {d^2}\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 2c + 5 - {c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 4a - 2c + 5 = 13\)

\(\left( S \right)\) cắt 3 mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)\) theo các giao tuyến là các đường tròn có bán kính bằng \(\sqrt {13} \) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {b^2} + {c^2} = {c^2} + {a^2} = 13 \Rightarrow {a^2} = {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow a = b = c > 0\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 4a - 2c + 5 = 13 \Leftrightarrow 2{a^2} - 6a - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a =  - 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a = b = c = 4 \Rightarrow a + b + c = 12.\end{array}\)