Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{{ - 1}} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(2x - y - 2z + 4 = 0\). Mặt phẳng chứa đường thẳng \(d\) và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) góc với số đo nhỏ nhất có phương trình là:

Giả sử \(\left( \alpha  \right)\) cần tìm có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b;c} \right),\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} > 0} \right)\).

Do \(d \subset \left( \alpha  \right)\) nên \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Leftrightarrow  - a + 2b + c = 0 \Leftrightarrow a = 2b + c\)\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {2b + c;b;c} \right)\)

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\left( P \right)\) được tính: 

\(\cos \varphi  = \dfrac{{\left| {\left( {2b + c} \right).2 - b - 2c} \right|}}{{3.\sqrt {{{\left( {2b + c} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {5{b^2} + 4bc + 2{c^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{5{b^2} + 4bc + 2{c^2}}}} \)

+) \(b = 0 \Rightarrow \)\(\cos \varphi  = 0 \Rightarrow \varphi  = {90^0}\)

+) \(b \ne 0 \Rightarrow \)\(\cos \varphi  = \sqrt {\dfrac{1}{{5 + 4.\dfrac{c}{b} + 2{{\left( {\dfrac{c}{b}} \right)}^2}}}}  = \sqrt {\dfrac{1}{{2{{\left( {\dfrac{c}{b} + 1} \right)}^2} + 3}}}  \Rightarrow 0 < \cos \varphi  \le \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

\({\varphi _{\min }} \Leftrightarrow \dfrac{c}{b} =  - 1\). Chọn \(b = 1,\,\,c =  - 1\), khi đó \(a = 2.1 - 1 = 1 \Rightarrow \)\(\overrightarrow n  = \left( {1;1; - 1} \right)\).

Do \(d \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow A\left( {0; - 1;2} \right) \in \left( \alpha  \right)\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y + 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 3 = 0\).