Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.\). Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1;0} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt 2 \)

\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;7;1} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = 5\sqrt 2 \)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 + 7 + 0 > 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right) < {90^0}\)

\( \Rightarrow \)Đường phân giác góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) có 1 VTCP \(\overrightarrow u  = 5.\overrightarrow {{u_1}}  + \overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5;12;1} \right)\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1\\2 + t = 2 + 7t'\\3 = 3 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 0\end{array} \right. \Rightarrow \) \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\)

Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:  \(\dfrac{{x - 1}}{5} = \dfrac{{y - 2}}{{12}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).