Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.$. Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1;0} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt 2$

${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {0;7;1} \right),\,\,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = 5\sqrt 2$

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 + 7 + 0 > 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right) < {90^0}$

$\Rightarrow$Đường phân giác góc nhọn giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ có 1 VTCP $\overrightarrow u  = 5.\overrightarrow {{u_1}}  + \overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5;12;1} \right)$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 1\\2 + t = 2 + 7t'\\3 = 3 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\t' = 0\end{array} \right. \Rightarrow$ ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại điểm $A\left( {1;2;3} \right)$

Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa ${d_1}$ và ${d_2}$ là:  $\dfrac{{x - 1}}{5} = \dfrac{{y - 2}}{{12}} = \dfrac{{z - 3}}{1}$.