Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - az + b = 0\), với \(a\), b là các tham số thực. Có bao nhiêu cặp giá trị nguyên của \(a\) và \(b\) thuộc đoạn \([ - 10;10]\) sao cho phương trình trên có hai nghiệm \({z_1}\) và \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\)?

Theo định lí Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_1} + {z_2} = a}\\{{z_1}{z_2} = b}\end{array}} \right.\). Khi đó:

\({\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 4{z_1}{z_2}\) \( = {a^2} - 4b\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\\ \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2\\ \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left| {{{\left( {{z_1} - {z_2}} \right)}^2}} \right|\\ \Leftrightarrow {a^2} = \left| {{a^2} - 4b} \right|\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {a^2} - 4b}\\{{a^2} = 4b - {a^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 0}\\{{a^2} = 2b}\end{array}} \right.} \right.\)

Với \(b = 0\) ta có tất cả 21 cặp \((a;b)\) thỏa mãn yêu cầu. Với \({a^2} = 2b\), để ý \(2b \in [ - 20;20]\) và $2 b$ chẵn nên \({a^2} \in \{ 0;4;16\} \).

Từ đó trong trường hợp này có tất cả 5 cặp \((a;b)\) là \((0;0);( \pm 2;2);( \pm 4;8)\). Do cặp \((0;0)\) bị trùng nên có tất cả \(21 + 5 - 1 = 25\) cặp giá trị nguyên của \(a\) và \(b\) thỏa mãn yêu cầu.