Trên mặt phẳng tọa độ\(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {2;3} \right),{\rm{ }}B\left( {5;0} \right)\) và \(C\left( { - 1;0} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho diện tích tam giác \(MAB\) bằng hai lần diện tích tam giác \(MAC\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(y = 0\), vì \(M \in BC\) nên gọi \(M\left( {m;0} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {m - 2; - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow n  = \left( {3;m - 2} \right)\) là 1 VTPT của đường thẳng \(AM\).

Phương trình đường thẳng \(AM\) là:

\(\begin{array}{l}3\left( {x - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 6 - 3m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 3m = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {B;AM} \right) = \dfrac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,d\left( {C;AM} \right) = \dfrac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;AM} \right).AM\\{S_{\Delta MAC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {C;AM} \right).AM\end{array} \right. \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAC}} \Leftrightarrow d\left( {B;AM} \right) = 2d\left( {C;AM} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\dfrac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {15 - 3m} \right| = 2\left| { - 3 - 3m} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}15 - 3m =  - 6 - 6m\\15 - 3m = 6 + 6m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 7\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(M\left( {1;0} \right)\) hoặc \(M\left( { - 7;0} \right)\).