Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6}  = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1}$ là:    

Điều kiện : $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1$

Ta có: $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6}  = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow \sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1 + 5{\rm{x}} + 5}  = 2(2{\rm{x}} - 1) + 7\sqrt {x + 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2} + 5\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}  = 2\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) + 7\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\dfrac{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}{{x + 1}}}^2} + 5}  = 2.\dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} + 7\end{array}$

Đặt $t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$, phương trình trở thành:$\sqrt {{t^2} + 5}  = 2t + 7$

Điều kiện $2t + 7 \ge 0 \Leftrightarrow t \ge  - \dfrac{7}{2}$

Phương trình:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = {\left( {2t + 7} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = 4{t^2} + 28t + 49\\ \Leftrightarrow 3{t^2} + 28t + 44 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - \dfrac{{22}}{3}\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

+) Với $t =  - 2 \Leftrightarrow  - 2 = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$ $\Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  =  - x + \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( * \right)$

Điều kiện $- x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2}$

Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} - x + \dfrac{1}{4}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x - \dfrac{3}{4}$ $\Leftrightarrow 4{x^2} - 8x - 3 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

 Giả sử ${x_1},{x_2}$  là hai nghiệm của phương trình $(1)$

Theo Vi – et, ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} =  - \dfrac{3}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} = 4 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{{11}}{2}$