Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right) + {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0.\)

ĐK : \(x > 2;x \ne 4\)

Ta có

 \(\begin{array}{l}{\log _{\sqrt 3 }}\left( {x - 2} \right) + {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x - 2} \right)^2} + {\log _3}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}{\left( {x - 4} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) = 1\,\,\,\,\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right) =  - 1\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 6x + 7 = 0\\{x^2} - 6x + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt 2 \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3 - \sqrt 2 \,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tổng các nghiệm là \(3 + 3 + \sqrt 2  = 6 + \sqrt 2 .\)