Tính tỉ số diện tích của tứ giác $ABCD$ và hình thoi $MNPQ$ .

Xét tam giác $MNP$ có: $MA = AN;\,NB = BP(gt) \Rightarrow$ $AB$ là đường trung bình của tam giác $MNP$ $\Rightarrow AB = \dfrac{1}{2}MP;\,AB{\rm{//}}MP\,(1)$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Xét tam giác $MQP$ có: $MD = DQ;\,PC = CQ(gt) \Rightarrow$ $CD$ là đường trung bình của tam giác $MQP$ $\Rightarrow CD = \dfrac{1}{2}MP;\,CD{\rm{//}}MP\,(2)$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Xét tam giác $MNQ$ có: $MA = AN;\,MD = DQ(gt) \Rightarrow$ $AD$ là đường trung bình của tam giác $MNQ$ $\Rightarrow AD = \dfrac{1}{2}NQ;\,AD{\rm{//}}NQ$ (tính chất đường trung bình của tam giác).

Từ (1) và (2) suy ra $AB = CD;AB{\rm{//}}CD \Rightarrow$ $ABCD$ là hình bình hành (dhnb).

Ta có: $AB{\rm{//}}MP(cmt);\,NQ \bot MP(gt) \Rightarrow AB \bot NQ$ . Mặt khác $AD{\rm{//}}NQ\,\,(cmt)$ , suy ra $AD \bot AB \Rightarrow \widehat {DAB} = 90^\circ$

Hình bình hành $ABCD$ có $\widehat {DAB} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật (dhnb).

Diện tích hình thoi $MNPQ$ là: ${S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}MP.NQ\,(3)$

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: ${S_{ABCD}} = AB.AD = \dfrac{1}{2}MP.\dfrac{1}{2}NQ = \dfrac{1}{4}MP.NQ\,\,(4)$

Từ (3) và (4) suy ra $\dfrac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{MNPQ}}}} = \dfrac{1}{2}$ .