Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm tham số \(m\) để hàm số \(y = \dfrac{{{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x - 2}}{{{{\log }_2}x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: \(y = \dfrac{{{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x - 2}}{{{{\log }_2}x - m}} = \dfrac{{ - {{\log }_2}x - 2}}{{{{\log }_2}x - m}}\).
Đặt \(t = {\log _2}x\), với \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;0} \right)\).
\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \dfrac{{{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x - 2}}{{{{\log }_2}x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) khi và chỉ khi \(y = f\left( t \right) = \dfrac{{ - t - 2}}{{t - m}}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' = \dfrac{{m + 2}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}} > 0\\m \notin \left( { - \infty ;0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 2\\m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 0\).
Hướng dẫn giải:
Đặt \(t = {\log _2}x\), với \(x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;0} \right)\) \( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \dfrac{{{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}x - 2}}{{{{\log }_2}x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) khi và chỉ khi \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).
